Question

设A,B均为n阶方阵,I为n阶单位矩阵,若A=1/2(B+I),则A的平方=A的充要条件是B的平方=I

Answer 1

充分性

A^2=A

0.25(B+I)^2=1/2(B+I)

(B+I)^2=2(B+I)

B^2+BI+IB+I=2B+2I

B^2+2B+I=2B+2I

B^2=I

必要性

若B^2=I

A^2=0.25(B+I)^2

A^2=0.25(B^2+BI+IB+I)

=0.25(2I+2B)

=1/2(B+I)

=A

得证

这里主要注意的是（A+B）^2=A^2+AB+BA+B^2

AB≠BA,当然除了单位矩阵,