Question

设A,B为n阶单位方阵,I为n阶单位方阵,B及I+AB可逆,证明I+BA也可逆

Answer 1

因为I+AB可逆,所以(I+AB)(I+AB)^(-1)=I,推出（B^(-1)B+AB)(B^(-1)B+AB)^(-1)=I,

（B^(-1)+A)BB^(-1)(B^(-1)+A)^(-1)=I 也就是（B^(-1)+A)(B^(-1)+A)^(-1)=I 所以B^(-1)+A可逆,又因为I+BA=B(B^(-1)+A) B可逆,B^(-1)+A可逆,所以I+BA 可逆,证毕