Question

设A,B是N阶对称阵,且AB+E及A都可逆,证明(AB+E)^(-1)A是可逆的对称阵

Answer 1

用M'表示M的转置.

先证(AB+E)^(-1)A = (B+A^(-1))^(-1).

由A(B+A^(-1)) = AB+E左乘(AB+E)^(-1),右乘(B+A^(-1))^(-1)即得.

之后就好做了:

((B+A^(-1))^(-1))'

= (B'+(A^(-1))')^(-1)

= (B+(A')^(-1))^(-1) (B = B')

= ((B+A^(-1))^(-1)) (A = A').