Question

已知函数f(x)=1/2x^2+alnx(a∈R)（1）若函数在点P(1,f(1))处的切线与直线x+2y+3=0垂直,

Answer 1

（1）直线x+2y+3=0的斜率为-1/2 所以f'(1)=2 而f’(x)=x+a/x 所以1+a/1=2 a=1

（2）令g(x)=f(x)-(2x+m) g'(x)=x+1/x-2 在（1,+∝﹚,根据柯西不等式,x+1/x>2 ,所以g'(x)>0 g(x)在[1,+∝﹚上单调递增,g(x)≥g(1)=f(1)-2-m=1/2-2-m 若不等式f(x)≥2x+m在[1,+∝﹚上恒成立 则g(1)≥0

1/2-2-m≥0 实数m的取值范围m≤-2/3

（3）显然x>0 而f’(x)=x+a/x

若a≥0 在(0,+∝﹚上 f’(x)>0 f(x)在(0,+∝﹚上单调递增

若a0 f(x)在(√-a,+∝﹚上单调递增

在(0,√-a﹚上 f’(x)