Question

已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x2+y2=8；定点M（2，

Answer 1

解题思路：（1）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，2y）在圆x²+y²=8上，整理即可解出曲线C的方程．

（2）设出直线l的方程，与C的方程联立方程组，整理为一元二次方程，根据根的判别式△＞0，化简求出m的范围．

（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），

则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．

所以有x²+（2y）²=8．

整理得曲线C的方程为

x2

8+

y2

2＝1．

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，

又KOM＝

1

2，

∴直线l的方程为y＝

1

2x+m．

由

y＝

1

2x+m

x2

8+

y2

2＝1.，

得x²+2mx+2m²-4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，

解得-2＜m＜2且m≠0．

∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的方程问题．考查对知识的综合运用能力，需要用到一元二次方程的根的判别式．本题属于中档题．