Question

证明：设A：V→U是向量空间V,U的线性映射,则以下两条等价

Answer 1

1->2由A是满射,可以得出任意u∈U,存在v∈V,A(v）=u

而v由Ω生成,所以v=k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs

u=A(v)= A(k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs) = k1A(ω1)+k2A(ω2) +...+ksA(ωs)

由于左侧是U中任意一个元素,A(ω1),A(ω2) ,...,A(ωs)必须能线性表示U中任意向量

所以他们构成的集合是U的生成集合

2->1:同理,如果U中任意一个向量能由A(Ω)生成

u=k1A(ω1)+k2A(ω2) +...+ksA(ωs) = A(v)

所以对于任意v都可以找到v=k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs使得它是v的原像

得证