Question

设z=f（2x-y，ysinx），其中f（u，v）具有连续的二阶偏导数，求∂2z∂x∂y．

Answer 1

解题思路：根据二元函数的链式法则以及复合函数的求导法则，即可求解．

∵z=f（2x-y，ysinx）

∴[∂/∂x]z=[∂/∂x]f（2x-y，ysinx）

=f₁′[∂/∂x]（2x-y）+f₂'[∂/∂x]（ysinx）

=2f₁′+ycosxf₂'

∂2z

∂x∂y=[∂/∂y]（2f₁′+ycosxf₂'）

=2[∂/∂y]f₁′+cosx[∂/∂y]（yf₂'）

因为：

[∂/∂y]f₁′=f₁₁″[∂/∂y]（2x-y）+f₁₂″[∂/∂y]（ysinx）

=-f₁₁″+sinxf₁₂″

[∂/∂y]（yf₂'）=f₂'+y[∂/∂y]f₂'

=f₂'+y[f₂₁″[∂/∂y]（2x-y）+f₂₂″[∂/∂y]（ysinx）]

=f₂'+y[-f₂₁″+sinxf₂₂″]

=f₂'-yf₂₁″+ysinxf₂₂″

所以：

∂2z

∂x∂y=2[∂/∂y]f₁′+cosx[∂/∂y]（yf₂'）

=2（-f₁₁″+sinxf₁₂″）+cosx（f₂'-yf₂₁″+ysinxf₂₂″）

=-2f₁₁″+2sinxf₁₂″+cosxf₂'-ycosf₂₁″+ysinxcosxf₂₂″

又因为函数f具有连续二阶导数，所以其二阶混合偏导数相等，即：

f₁₂″=f₂₁″

所以：

∂2z

∂x∂y=-2f₁₁″+2sinxf₁₂″+cosxf₂'-ycosf₂₁″+ysinxcosxf₂₂″

=-2f₁₁″+（2sinx-ycosx）f₁₂″+cosxf₂'+ysinxcosxf₂₂″

故

∂2z

∂x∂y的值为：

-2f₁₁″+（2sinx-ycosx）f₁₂″+cosxf₂'+ysinxcosxf₂₂″

点评：

本题考点： 多元函数高阶偏导的求法．

考点点评： 本题主要考察链式法则在二阶偏导数中的应用，链式法则是二阶偏导数计算中一个重要知识点，考生需要牢固掌握．解答过程中，f1′表示对函数f第一个变量求一阶偏导，f2表示对函数f第二个变量求一阶偏导，'f11″表示对函数f第一个变量求二阶偏导，f22″表示对函数f第二个变量求二阶偏导，f12″表示对函数f求二阶混合偏导