Question

已知双曲线x2-y22=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点．

Answer 1

解题思路：（1）设出过P（1，2）点的直线AB方程，然后代入双曲线方程，利用设而不求韦达定理求出k的值，求出AB的方程即可．

（2）按照（1）的方法，求出k=2，此时，△＜0，所以这样的直线不存在．

（1）设过P（1，2）点的直线AB方程为y-2=k（x-1），

代入双曲线方程得

（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k⁴-4k+6）=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则有x₁+x₂=-

2k2−4k

2−k2，

由已知

x1+x2

2=x_p=1，

∴

2k2−4k

k2−2=2．解得k=1．

又k=1时，△=16＞0，从而直线AB方程为x-y+1=0．

（2）证明：按同样方法求得k=2，

而当k=2时，△＜0，

所以这样的直线不存在．

点评：

本题考点： 双曲线的应用；直线的一般式方程．

考点点评： 本题考查双曲线的运用，以及直线的一般式，通过直线与双曲线的方程的联立，通过设而不求韦达定理解题，属于中档题．