Question

已知双曲线3x2-y2=3，过点P（2，1）作直线l交双曲线于A，B两点．

Answer 1

解题思路：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，两式相减，利用M时中点及斜率相等可求M得轨迹方程，从而得到其轨迹；

（2）在（1）的基础上，利用P恰为AB中点，得直线的斜率为6，从而可求．

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），

则3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，

两式相减得3x（x₁-x₂）-y（y₁-y₂）=0，

∴[3x/y＝

y−1

x−2]，即3x²-y²-6x+y=0，斜率不存在时也满足，轨迹为双曲线；

（2）由（1）知3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，

两式相减得6（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，从而直线的斜率为6，

故所求直线方程为6x-y-11=0

点评：

本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查中点弦问题，设而不求是常用方法，应注意细细体会．