Question

设A为n阶可逆方阵 A*为A的伴随矩阵 试证：

Answer 1

1、AA*=A*A=|A|E,所以(A/|A|)A*=A*(A/|A|)=E,所以(A*)^(-1)=A/|A|.

由A*=|A|E得A*=|A|A^(-1),将其中的A替换为A^(-1),得(A^(-1))*=|A^(-1)|(A^(-1))^(-1)=1/|A|A=A/|A|.

所以(A*)^(-1)=A/|A|=(A^(-1))*.

2、A*=|A|A^(-1),替换A为-A,得(-A)*=|-A|(-A)^(-1)=(-1)^n×|A|×(-1)A^(-1)=(-1)^(n-1)(|A|A^(-1))=(-1)^(n-1)A*.

3、A*A=|A|E两边取行列式,得|A|×|A*|=|A|^n,所以|A*|=|A|^(n-1).