双曲线C:x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F.

2个回答

  • 解题思路:(1)利用点差法,可求求弦AB的中点M的轨迹方程;

    (2)以AB为直径的圆过原点O,可得OA⊥OB得:x1x2+y1y2=0,利用韦达定理,即可得出结论.

    (1)设M(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2),则x12-y12=2,x22-y22=2,

    两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,

    ∴2x(x1-x2)-2y(y1-y2)=0,

    y1−y2

    x1−x2=[x/y],

    ∵双曲线C:x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F(2,0),

    ∴[y/x−2=

    x

    y],

    化简可得x2-2x-y2=0,(x≥2)-------(6分)

    (2)假设存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=k(x-2)

    由已知OA⊥OB得:x1x2+y1y2=0,

    ∴(1+k2)x1x2−2k2(x1+x2)+4k2=0---------①

    x2−y2=2

    y=k(x−2)⇒(1−k2)x2+4k2x−4k2−2=0,

    所以x1+x2=

    4k2

    k2−1,x1x2=

    4k2+2

    k2−1(k2≠1)--------②

    联立①②得:k2+1=0无解

    所以这样的圆不存在.-----------------------(14分)

    点评:

    本题考点: 双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查轨迹方程,考查点差法的运用,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.