Question

已知a＞0，设命题p：函数f（x）=a x 在R上是增函数，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，

Answer 1

（1）∵y=f（x+1）=a ^x+1恒过定点M（1，4），

∴a ¹⁺¹=4，∵a＞0

∴a=2

（2）若命题p为真命题，则函数f（x）=a ^x在R上是增函数，∴a＞1

若命题q为真命题，则不等式x+|x-2a|＞1的解集为R

不等式x+|x-2a|＞1变形为|x-2a|＞1-x

去绝对值符号，得，x-2a＞1-x或x-2a＜x-1

即2x＞1+2a或2a＞1

∵不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，可知2a＞1

∴a＞

1

2

∵p和q中有且只有一个命题为真命题

∴若p真q假，则a＞1且a≤

1

2 ，∴a∈∅

若p假q真，则a≤1且a＞

1

2 ，∴

1

2 ＜a≤1

综上所述，若p和q中有且只有一个命题为真命题则

1

2 ＜a≤1