已知椭圆
的方程为
,其中
.
（1）求椭圆
形状最圆时的方程；
（2）若椭圆
最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点
，证明：点
在一个定圆上.
（1）
；（2）证明过程详见解析.
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，根据椭圆的标准方程应满足的条件得:
，且
，则知椭圆的长轴在y轴上，而椭圆形状最圆时e最小，则先得到e的表达式，再根据三角函数的有界性求表达式的最小值，得到取得最小值时的
的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出交点P的坐标，根据直线的斜率是否存在，分2种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于k的方程，由于两切线垂直，则
，利用上述方程的两根之积得到
的值，整理出方程形式，再验证当斜率不存在时P点坐标，得到最终结论.
试题解析：（1）根据已知条件有
，且
，故椭圆
的长轴在
轴上.
，当且仅当
时取等号.
由于椭圆
的离心率
最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为
. 5分
（2）设交点
，过交点
的直线
与椭圆
相切.
(1)当斜率不存在或等于零时，易得
点的坐标为
. 6分
(2)当斜率存在且非零时，则
设斜率为
，则直线
：
，
与椭圆方程联立消
，得：
.
由相切，
，
化简整理得
.①
因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故
，而
为方程①的两根，
故
，整理得：
.
又
也满足上式，
故
点的轨迹方程为
，即
点在定圆
上. 13分