Question

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足对任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），记数列an=

Answer 1

解题思路：令x=y=1代入所给的式子求出f（1）的值，并判断①真假；

令x=y=2代入式子化简，再结合数列的通项公式进行判断②的真假；

令y=[1/x]代入式子化简后，再由函数g（x）的解析式转化，判断③真假；

利用{b_n}的通项公式分别求出b₁、b₂、b₃，令x=2，y=4代入式子化简后，再由等比数列的定义判断④真假．

令x=y=1，代入xyf（xy）=xf（x）+yf（y）得，f（1）=0，①正确；

令x=y=2，得4f（4）=2f（2）+2f（2），即f（4）=f（2），

又由a_n=f（2ⁿ）得，a₁=f（2），a₂=f（4），则a₁=a₂，②正确；

令y=[1/x]，得f（1）=xf（x）+[1/xf(

1

x)

由g（x）=xf（x），得g（x）+g（

1

x]）f（1）=0，③正确；

由b_n=2ⁿ•a_n，得b₁=2a₁，b₂=4a₂，b₃=8a₃，而a₁=a₂，a₃=f（8），

令x=2，y=4，得8f（8）=2f（2）+4f（4），

化简得，f（8）=[3/4]f（2），即a₃=[3/4]a₂=[3/4]a₁，

显然b₁、b₂、b₃不是等比数列中的项，所以数列{b_n}不是等比数列，④错．

故其中正确命题的为：①②③．

故选：A．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查了抽象函数，及数列通项公式和等比数列定义的应用，此题的关键是根据条件正确给x和y值，利用恒等式进行求解，考查了解决抽象函数问题常用的方法：赋值法．