Question

已知双曲线的渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为______．

Answer 1

解题思路：先确定x²+y²-6x+5=0的圆心坐标与半径为2，利用双曲线的渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，建立方程，即可求得几何量，从而可求双曲线方程．

x²+y²-6x+5=0的圆心坐标为（3，0），半径为2，则双曲线的右焦点为（3，0）

设双曲线方程为

x2

a2−

y2

b2＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为bx±ay=0

∵双曲线的渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，

∴

|3b|

b2+a2＝2

∴3b=2c=6

∴b=2

∴a²=c²-b²=5

∴双曲线的方程为

x2

5−

y2

4＝1

故答案为：

x2

5−

y2

4＝1

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查圆的标准方程，考查双曲线的几何性质，利用直线与圆相切是解题的关键．