解题思路:(1)设正比例方程为y=kx(k≠0),联立y2=2pxy=kx⇒x(k2x−2p)=0,由此可知抛物线与正比例函数有两个交点.(2)y2=2px⇒2yy′=2p⇒y′=py,所以过点P的切线斜率为k=pn,所以过改点的法线斜率为−1k=−np,从而相应的法线方程为y−n=−np(x−m),由此可知抛物线内切圆系方程为:(x-p-m)2+y2=p2+2pm(其中m为参数且m≥0).(3)探究结论:抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x−k2+2k2p)2+(y−pk)2=(k2+1k2)p2(k为参数且k≥0)然后再结合题设条件进行证明.
(1)设正比例方程为y=kx(k≠0),联立
y2=2px
y=kx⇒x(k2x−2p)=0
得到x1=0,x2=
2p
k2>0,
因此抛物线与正比例函数有两个交点.(2分)
(2)y2=2px⇒2yy′=2p⇒y′=
p
y,
所以过点P的切线斜率为k=
p
n,
所以过改点的法线斜率为−
1
k=−
n
p,
从而相应的法线方程为y−n=−
n
p(x−m),
因为抛物线关于x轴对称,
所以有其内切圆的圆心必在x轴上,令y=0得x=p+m,设内切圆的半径为R,
则R2=(p+m-m)2+(0-n)2=p2+n2=p2+2pm
从而抛物线内切圆系方程为:(x-p-m)2+y2=p2+2pm(其中m为参数且m≥0)(6分)
(3)探究结论:抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x−
k2+2
k2p)2+(y−
p
k)2=(
k2+1
k2)p2(k为参数且k≥0)(8分)
证明:设焦点弦AB所在直线方程为y=k(x−
p
2),与抛物线方成联立便可以得到
k2x2−p(k2+2)x+
p2k2
4=0
ky2−2py−kp2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
k2+2
k2p,x1x2=
p2
4;y1+y2=
2p
k,x1x2=−p2;
设伴随圆圆心为(m,n),则m=
x1+x2
2=
k2+2
2k2,n=
y1+y2
2=
n
k,
设伴随圆半径为RR2=
1
4|AB|2=
(k2+1)2
k4p2
所以伴随圆系方程为(x−
k2+2
k2p)2+(y−
p
k)2=(
k2+1
k2)p2(11分)
命题:抛物线y2=2px(p>0)以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线.(13分)
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的应用.
考点点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.