已知抛物线y2=2px(p>0),点P(m,n)为抛物线上任意一点,其中m≥0.

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  • 解题思路:(1)设正比例方程为y=kx(k≠0),联立y2=2pxy=kx⇒x(k2x−2p)=0,由此可知抛物线与正比例函数有两个交点.(2)y2=2px⇒2yy′=2p⇒y′=py,所以过点P的切线斜率为k=pn,所以过改点的法线斜率为−1k=−np,从而相应的法线方程为y−n=−np(x−m),由此可知抛物线内切圆系方程为:(x-p-m)2+y2=p2+2pm(其中m为参数且m≥0).(3)探究结论:抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x−k2+2k2p)2+(y−pk)2=(k2+1k2)p2(k为参数且k≥0)然后再结合题设条件进行证明.

    (1)设正比例方程为y=kx(k≠0),联立

    y2=2px

    y=kx⇒x(k2x−2p)=0

    得到x1=0,x2=

    2p

    k2>0,

    因此抛物线与正比例函数有两个交点.(2分)

    (2)y2=2px⇒2yy′=2p⇒y′=

    p

    y,

    所以过点P的切线斜率为k=

    p

    n,

    所以过改点的法线斜率为−

    1

    k=−

    n

    p,

    从而相应的法线方程为y−n=−

    n

    p(x−m),

    因为抛物线关于x轴对称,

    所以有其内切圆的圆心必在x轴上,令y=0得x=p+m,设内切圆的半径为R,

    则R2=(p+m-m)2+(0-n)2=p2+n2=p2+2pm

    从而抛物线内切圆系方程为:(x-p-m)2+y2=p2+2pm(其中m为参数且m≥0)(6分)

    (3)探究结论:抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x−

    k2+2

    k2p)2+(y−

    p

    k)2=(

    k2+1

    k2)p2(k为参数且k≥0)(8分)

    证明:设焦点弦AB所在直线方程为y=k(x−

    p

    2),与抛物线方成联立便可以得到

    k2x2−p(k2+2)x+

    p2k2

    4=0

    ky2−2py−kp2=0,

    设A(x1,y1),B(x2,y2),

    则x1+x2=

    k2+2

    k2p,x1x2=

    p2

    4;y1+y2=

    2p

    k,x1x2=−p2;

    设伴随圆圆心为(m,n),则m=

    x1+x2

    2=

    k2+2

    2k2,n=

    y1+y2

    2=

    n

    k,

    设伴随圆半径为RR2=

    1

    4|AB|2=

    (k2+1)2

    k4p2

    所以伴随圆系方程为(x−

    k2+2

    k2p)2+(y−

    p

    k)2=(

    k2+1

    k2)p2(11分)

    命题:抛物线y2=2px(p>0)以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线.(13分)

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的应用.

    考点点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.