解题思路:(1)先计算出△=1,然后根据判别式的意义即可得到结论;
(2)先利用公式法求出方程的解为x1=k,x2=k+1,然后分类讨论:AB=k,AC=k+1,当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形,然后求出k的值.
(1)证明:∵△=(2k+1)2-4(k2+k)=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解为x=
2k+1±
1
2,即x1=k,x2=k+1,
∵k<k+1,
∴AB≠AC.
当AB=k,AC=k+1,且AB=BC时,△ABC是等腰三角形,则k=5;
当AB=k,AC=k+1,且AC=BC时,△ABC是等腰三角形,则k+1=5,解得k=4,
所以k的值为5或4.
点评:
本题考点: 根的判别式;解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系;等腰三角形的性质.
考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.