已知:关于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0(k≥1).

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  • 解题思路:(1)先由k≠0,确定此方程为一元二次方程.要证明方程总有两个实数根,只有证明△≥0,通过代数式变形即可证明;

    (2)先利用求根公式求出两根,x1=-1,

    x

    2

    =1−

    2

    k

    ,只要2被k整除,并且有k≥1的整数,即可得到k的值.

    证明:(1)∵k≥1,

    ∴k≠0,此方程为一元二次方程,

    ∵△=4-4k(2-k)=4-8k+4k2=4(k-1)2

    而4(k-1)2≥0,

    ∴△≥0,

    ∴方程恒有两个实数根.

    (2)方程的根为x=

    −2±

    4(k−1)2

    2k=

    −1±

    (k−1)2

    k,

    ∵k≥1,∴x=

    −1±

    (k−1)2

    k=

    −1±(k−1)

    k.

    ∴x1=-1,x2=1−

    2

    k,

    ∵k≥1,若k为整数,

    ∴当k=1或k=2时,方程的两个实数根均为整数.

    点评:

    本题考点: 根的判别式;解一元二次方程-公式法.

    考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了解方程的方法和整数的整除性质.