Question

已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k-4）=0

Answer 1

解题思路：（1）计算方程的根的判别式，若△=b²-4ac≥0，则方程有实数根；

（2）已知a=3，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

（1）∵关于x的一元二次方程kx²+2（k+4）x+（k-4）=0方程有实数根，

∴b²-4ac=[2（k+4）]²-4k（k-4）≥0，

解得：k≥-[4/3]且k≠0；

（2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．

∴b²-4ac=[2（k+4）]²-4k（k-4）=0，

解得：k=-[4/3]．

此时原方程化为x²-4x+4=0

∴x₁=x₂=2，即b=c=2．

此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，

∴△ABC的周长为：3+2+2=7；

②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3

代入方程：kx²+2（k+4）x+（k-4）=0得：k×3²+2（k+4）×3+（k-4）=0

∴解得：k=-[5/4]，

∵x₁×x₂=bc=[k−4/k]=

−

5

4−4

−

5

4=[21/5]=3c，

∴c=[7/5]，

∴△ABC的周长为：3+3+[7/5]=[37/5]．

点评：

本题考点： 根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．

考点点评： 此题主要考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．