Question

已知abc为非0向量,且|b-a-c|=|a-b-c|,|a+b+c|=|a+b-c|,证明a⊥c

Answer 1

因为 |b-a-c|=|a-b-c|,所以 |b-a-c|^2=|a-b-c|^2.

而 |b-a-c|^2=(b-a)^2+c^2-2c(b-a),|a-b-c|^2=(a-b)^2+c^2-2c(a-b) (注意展开的时候将a-b看成一个整体),所以

2c(b-a)=2c(a-b).由此可知 c(a-b)=0 (1)

同理,因为 |a+b+c|=|a+b-c|,所以 |a+b+c|^2=|a+b-c|^2.

而 |a+b+c|^2=(a+b)^2+c^2+2c(a+b),|a+b-c|^2=(a+b)^2+c^2-2c(a+b),所以

2c(a+b)=-2c(a+b),即 c(a+b)=0 (2)

(2)-(1)得到：2ac=0,即 ac=0.所以 a⊥c.