已知函数f(x)=bx+c/x+1的图像过原点,且关于点(-1,1)成中心对称,(1)求函数 (2)若数列An满足An大

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  • (1)函数f(x)=(bx+c)/(x+1)的图像过原点,所以把(0,0)代进去可得c=0,又图像关于点(-1,1)成中心对称,f(0)=0,所以f(-2)=2,((0,0)和(-2,2)是关于(-1,1)对称的点),解得b=1,所以解析式是:

    f(x)=x/(x+1).

    (2)A(n+1)=f(根号An)的平方=(根号An/根号An+1)^2

    由A1=1,可得A2=1/4,A3=1/9,A4=1/16,于是可猜想An=(1/n)^2,下面证明这个结论.

    用数学归纳法.

    1、当n=1时,A1=(1/1)^2=1,正确.

    2、假设当n=k时正确,即Ak=(1/k)^2,那么当n=k+1时,

    A(k+1)=(根号Ak/根号Ak+1)^2=[(1/k)/(1/k+1)]^2=[1/(k+1)]^2,也正确.

    因此命题得证.