(Ⅰ)证明:f(x)=2 x代入f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)得2 x 0 +1=2 x 0 +2得:…(2分)
即2 x 0 =2,解得x 0=1,
∴函数f(x)=2 x具有性质M.…(4分)
(Ⅱ)h(x)的定义域为R,且可得a>0,
∵h(x)具有性质M,
∴存在x 0,使得h(x 0+1)=h(x 0)+h(1),代入得lg
a
x 20 +2 = lg
a
x 0 +1 +lg
a
2
化为2(
x 20 +1)= a ( x 0 +1) 2 +a
整理得:(a-2)
x 20 +2ax 0+2a-2=0有实根…(5分)
①若a=2,得x 0=-
1
2 ,满足题意
②若a≠2,则要使(a-2)
x 20 +2ax 0+2a-2=0有实根有实根,只需满足△≥0,
即a 2-6a+4≤0,解得a∈[3-
5 ,3+
5 ]
∴a∈[3-
5 ,2)∪(2,3+
5 ]…(8分)
综合①②,可得a∈[3-
5 ,3+
5 ]…(9分)
(Ⅲ)函数y=f(x)恒具有性质M,即关于x的方程f(x+1)=f(x)+f(1)(*)恒有解.
①若f(x)=kx+b,则方程(*)可化为k(x+1)+b=kx+b+k+b,
整理,得0×x+b=0,
当b≠0时,关于x的方程(*)无解
∴f(x)=kx+b不恒具备性质M;
②若f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则方程(*)可化为2ax+a+b=0,解得x- -
a+b
2a .
∴函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)一定具备性质M.
③若f(x)=
k
x (k≠0),则方程(*)可化为x 2+x+1无解
∴f(x)=
k
x (k≠0)不具备性质M;
④若f(x)=a x,则方程(*)可化为a x+1=a x+a,化简得(a-1)a x=a即a x=
a
a-1
当0<a<1时,方程(*)无解
∴f(x)=
k
x (k≠0),不恒具备性质M;
⑤若f(x)=log ax,则方程(*)可化为log a(x+1)=log ax,化简得x+1=x
显然方程无解;
∴f(x)=
k
x (k≠0),不具备性质M;
综上所述,只有函数f(x)=ax2+bx+c一定具备性质M.…(14分)