Question

导函数两个在一点的两个单侧极限存在且不等,等否推出原函数在那一点不可导?不能请举个反例,可以请证明

Answer 1

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假设导函数在某点x0是你所说的情况,设导函数f(x),原函数F(x)

原函数F(x)=∫f(x)dx（假设可积,不可积原函数不存在当然在那一点不可导）

F'+(x0)=lim(Δx->0+)[F(x0+Δx)-F(x)]/Δx

=lim(Δx->0+)[∫(x0->x0+Δx)f(x')dx']/Δx (我把积分上下限写在积分号后的括号里)

既然lim(Δx->0+)f(x0+Δx)存在,记为I

则对任意小量ε,存在某个δ>0,使得00+)f(x0+Δx)成立

综上可得,若原函数在该点附近存在,则其在该点的右导数存在且等于导函数在该点的右极限.同理可证,其在该点的左导数等于导函数在该点的左极限.

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