Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．

Answer 1

解题思路：（1）由sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ，得：sin2α+tanβcos2α=3tanβ，故tanβ=sin2α3−cos2α=sinαcosαcos2α+2sin2α=tanα1+2tan2α．由此能求出f（x）的表达式．（2）由an+12＝2an21+2an2，得：1an+12＝1+2an22an2=12an2+1，故1an+12−2＝12(1an2−2)，由此能求出an．

（1）由sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ，

得：sin2α+tanβcos2α=3tanβ，

故tanβ=[sin2α/3−cos2α]

=[2sinαcosα

3(cos 2α+sin 2α)−(cos2α−sin2α )

=

sinαcosα

cos2α+2sin2α

=

tanα

1+2tan2α．

∴y=

x

1+2x2．（6分）

（2）由an+12＝

2an2

1+2an2，

得：

1

an+12＝

1+2an2

2an2=

1

2an2+1，

故

1

an+12−2＝

1/2(

1

an2−2)，

又

1

a12−2＝2，

∴

1

an2−1＝2•(

1

2)n−1＝(

1

2)n−2，

又a_n＞0，故an＝

2n−2

1+2n−1]．（12分）

点评：

本题考点： 数列递推式；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题考查数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意同角三角函数关系的灵活运用．