Question

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数,f（2）=1/2,f丶（x）是f（x）的导函数,若对任意x∈R,使f丶（x）＜

Answer 1

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数

所以f(x+1)的对称轴是x=0,f（x）是有f(x+1)向右平移1单位的到的

所以f（x）的对称轴为x=1

f‘（x+1）=f'（x）*（x+1）‘=f'（x）＜e^x成立

令g（x）=f（x）-e^x+1/2

g’（x）=f'（x）-e^x＜0恒成立

g（x）在R上单调递减

又因为f（x）的对称轴为x=1

所以f(0)=f(2)=1/2

因为g(0)=0

所以当x＞0时

g（x）＜0

即f（x）＜e^x-1/2的解集为（0,正无穷）.