解题思路:先假设存在这样的直线l,分类讨论:斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,①当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,可求k的范围,再由M是线段AB的中点,则
x
1
+
x
2
2
=1,可求k,看是否矛盾,②当k不存在时,直线经过点M但不满足条件,故符合条件的直线l不存在,综合可求
设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1
(1)当k存在时有
y=k(x−1)+1
x2 −
y2
2=1
得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,
∴k<[3/2]
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
∴x1+x2=
2(k−k2)
2−k2 又B(1,1)为线段AB的中点
∴
x1+x2
2=1 即
k−k2
2−k2=1
∴k=2
当k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程(1)无实数解
故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.
(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系.
考点点评: 本题考察了直线与双曲线的位置关系,特别是相交时的中点弦问题,方程的根与系数关系的应用,及利用方程思想判断直线与曲线位置关系