已知双曲线x2−12y2=1,过B(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于P,Q两点,且B是线段PQ的中点,这样的直线如

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  • 解题思路:先假设存在这样的直线l,分类讨论:斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,①当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,可求k的范围,再由M是线段AB的中点,则

    x

    1

    +

    x

    2

    2

    =1,可求k,看是否矛盾,②当k不存在时,直线经过点M但不满足条件,故符合条件的直线l不存在,综合可求

    设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1

    (1)当k存在时有

    y=k(x−1)+1

    x2 −

    y2

    2=1

    得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1)

    当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,

    ∴k<[3/2]

    设P(x1,y1),Q(x2,y2

    ∴x1+x2=

    2(k−k2)

    2−k2 又B(1,1)为线段AB的中点

    x1+x2

    2=1 即

    k−k2

    2−k2=1

    ∴k=2

    当k=2,使2-k2≠0但使△<0

    因此当k=2时,方程(1)无实数解

    故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.

    (2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,

    综上,符合条件的直线l不存在

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系.

    考点点评: 本题考察了直线与双曲线的位置关系,特别是相交时的中点弦问题,方程的根与系数关系的应用,及利用方程思想判断直线与曲线位置关系