注意到
1+[(1-x)/(1+x)]=2/(1+x)
1-[(1-x)/(1+x)]=2x/(1+x)
∴{1+[(1-x)/(1+x)]}²=4/(1+x)²
{1-[(1-x)/(1+x)]}²=4x²/(1+x)²
∴{1+[(1-x)/(1+x)]}²-{1-[(1-x)/(1+x)]}²=4(1-x²)/(1+x)²
{1-[(1-x)/(1+x)]}²+{1+[(1-x)/(1+x)]}²=4(1+x²)/(1+x)²
上面两式相除,即得
({1+[(1-x)/(1+x)]}²-{1-[(1-x)/(1+x)]}²)/({1-[(1-x)/(1+x)]}²+{1+[(1-x)/(1+x)]}²)
=(1-x²)/(1+x²)
=f[(1-x)/(1+x)]
故
f(x)=[(1+x)²-(1-x)²]/[(1-x)²+(1+x)²]=2x/(x²+1)