已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ - 知识问答

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ）求f（π12）的值；（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x

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（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=
2sin(x+
π
4)，
∴f(
π
12)＝
2sin(
π
12+
π
4)＝
2sin
π
3＝
6
2；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
2cos(x+
π
4)，
由2kπ+π＜x+
π
4＜2kπ+2π，得2kπ+
3π
4＜x＜2kπ+
7π
4，
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
3π
4，2kπ+
7π
4)，k∈Z．
又由2kπ＜x+
π
4＜2kπ+π，得2kπ?
π
4＜x＜2kπ+
3π
4，
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ?
π
4，2kπ+

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