Question

过标准型双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,求双曲线离心率.

Answer 1

设双曲线的方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ,

则左焦点F1（-c,0）,

把 x=-c 代入双曲线方程,解得 M（-c,b^2/a）,N（-c,-b^2/a）,

所以 |MN|=2b^2/a,

因为 以MN为直线的圆过右焦点F2（c,0）,

所以 |F1F2|=|MN|/2 ,即 2c=b^2/a,

所以 2ac=b^2=c^2-a^2,

两边同除以 a^2 得 2e=e^2-1,

解得 e=(2+√5)/2 .