Question

已知以原点O为中心，F（ ，0）为右焦点的双曲线C的离心率 。 （1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

Answer 1

（1）设C的标准方程为

（a，b>0），

则由题意

，

又

因此a=2，

C的标准方程为

C的渐近线方程为

即x-2y=0和x+2y=0。

（2）如图，由题意点E（x _E，y _E）在直线l ₁：x ₁x+4y ₁y=4和l ₂：x ₂x+4y ₂y=4上，

因此有x ₁x _E+4y ₁y _E=4，x ₂x _E+4y ₂y _E=4，

故点M，N均在直线x _Ex+4y _Ey=4上，

因此直线MN的方程为x _Ex+4y _Ey=4

设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组

及

解得

，

故

因为点E在双曲线

上，有

所以

。