解题思路：（1）设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
＝1
（a＞b＞0），由题意得
c
a
＝
1
2
，a+c＝3
，可得a，c，再由a2=b2+c2可得b；
（2）：①当AB垂直于x轴时，易证明；②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆
x
2
4
+
y
2
3
＝1
，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），写出直线AN、BM的方程联立，及韦达定理可求得AN与BM的交点，由其坐标可得结论；
（1）设椭圆C的方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），
则由
c
a＝
1
2，a+c＝3，得a=2，c=1，b2=3，
所以椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）证明：①当AB垂直于x轴时，AB的坐标分别为(1，
3
2)，(1，−
3
2)，AN与BM的交点为(
5
2，0)在x轴上．
②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入椭圆
x2
4+
y2
3＝1，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（4，y1），N（4，y2），且
x1+x2＝
8k2
4k2+3
x1x2＝
4k2−12
4k2+3，
∵直线AN方程是
y−y1
y2−y1＝
x−x1
x2−x1，直线BM方程是
y−y1
y2−y1＝
x−4
x2−4．
联立，得
y−y1
y2−y1＝
x−x1
4−x1
y−y1
y2−y1＝
x−4
x2−4，消去y，得：
x−4
x2−4＝
x−4
x2−4．
即（x1+x2-8）x=x1x2-16，即x＝
x1x2−16
x1+x2−8＝
5
2，
把x＝
5
2代入直线AN的方程
y−y1
y2−y1＝
x−x1
4−x1，
得y＝y1+
y2−y1
4−x1(
5
2−x1)＝
3
2y1+
5
2y2−x1y2
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的方程及性质，考查学生的运算求解能力，难度较大．