Question

（2013?红河州）如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一

Answer 1

（1）在y=-x²+4中，当y=0时，即-x²+4=0，解得x=±2．

当x=0时，即y=0+4，解得y=4．

所以点A、B、C的坐标依次是A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4）．

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则

2k+b=0

b=4，解得

k=-2

b=4．

所以直线BC的解析式为y=-2x+4．…3分

（2）∵点E在直线BC上，

∴设点E的坐标为（x，-2x+4），

则△ODE的面积S可表示为：S=

1

2x(-2x+4)=-x2+2x=-(x-1)2+1．

∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．

此时，-2x+4=-2×1+4=2，

∴点E的坐标为（1，2）．…5分

（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：

设点P的坐标为（x，-x²+4），0＜x＜2．

因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：

①当△PDO∽△COA时，[PD/CO=

OD

AO]，

-x2+4

4=

x

2，

解得x1=

5-1，x2=-

5-1（不符合题意，舍去）．

当x=

5-1时，y=-(