解题思路：（I）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（Ⅱ）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围
（Ⅰ）f′（x）=[1/2][[3/x+2]-[1/x−2]]=[x−4
x2−4
∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得，又f（3）-f（7）=
1/2][3ln5-ln1]-[1/2][ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，∴F′（x）≥0恒成立
又F′（x）=[a/x−1−
x−4
x2−4]=
(a−1)x2+5x−4(a+1)
(x−1)(x2−4)
在f（x）的定义域（2，+∞）上，有（x-1）（x2-4）＞0恒成立．
∴F′（x）≥0⇔（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情况讨论（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x2+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①52+16（a-1）（a+1）≤0；
②−
5
2(a−1)≤2且（a-1）-22+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a2+9≤0，无解；由②得a≥-[1/4]，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减