解题思路：用逐步增加条件的方法，找到同时满足被3除余2、被5除余2的最小数；然后不断加上3、5的最小公倍数15，找到同时满足前三个条件的最小数；接下来不断加上3、5、7的最小公倍数105，找到同时满足前四个条件的最小数，恰好同时满足最后一个条件，即为所求．
同时满足被3除余2、被5除余2的数最小是2+3×5=17
然后不断加上3、5的最小公倍数15，始终满足前两个条件，可找到17+15×2=47同时满足前三个条件；
接下来不断加上3、5、7的最小公倍数105，可始终满足前三个条件，从而找到47+105×2=257同时满足前四个条件，恰好同时满足最后一个条件．
故满足条件的最小自然数是257．
点评：
本题考点： 带余除法．
考点点评： 此题考查了带余除法，本题用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的最小自然数，从而最后求解．