Question

设函数f（x）=x-[1/x]，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是_____

Answer 1

解题思路：已知f（x）为增函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论即可得出答案．

已知f（x）为增函数且m≠0，

当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，

此时不符合题意．

当m＜0时，有mx−

1

mx+mx−

m

x＜0⇒2mx−(m+

1

m)•

1

x＜0⇒1+

1

m2＜2x2

因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，

所以1+

1

m2＜2，

即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．

故答案为：m＜-1．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．