解题思路：（Ⅰ）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，可得a与b满足的关系式；
（Ⅱ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，确定分类标准，从而可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞3时，确定f（x）在[[1/2]，2]上的最大值，g（x）在[[1/2]，2]上的最小值，要使存在m1，m2∈[[1/2]，2]，使得|f（m1）-g（m2）|＜9成立，只需要|f（x）max-g（x）min|＜9，即可求得a的取值范围．
（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=1-[a/x]-[b
x2，…（2分）
由f′（1）=0得b=1-a． …（3分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分）
由（Ⅰ）可得f′（x）=1-
a/x]-[b
x2=
(x−1)[x−(a−1)]
x2．
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．…（6分）
因为x=1是f（x）的极值点，所以x1≠x2，即a≠2． …（7分）
所以当a＞2时，a-1＞1，
x （0，1） 1 （1，a-1） a-1 （a-1，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗所以单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞），单调递减区间为（1，a-1）．…（8分）
当1＜a＜2时，0＜a-1＜1，
所以单调递增区间为（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间为（a-1，1）．…（9分）
（Ⅲ）当a＞3时，f（x）在[
1/2]，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．…（10分）
因为函数g（x）在[[1/2]，2]上是单调递增函数，所以g（x）的最小值为g（[1/2]）=[1/4]a2+3＞0．…（11分）
所以g（x）＞f（x）在[[1/2]，2]上恒成立．…（12分）
要使存在m1，m2∈[[1/2]，2]，使得|f（m1）-g（m2）|＜9成立，只需要g（[1/2]）-f（1）＜9，即[1/4]a2+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． …（13分）
又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）． …（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定分类标准，利用函数的最值解决恒成立问题．