若过点(1,-3)的直线与双曲线x^2-y^2=4有且只有一个公共点,求此直线的斜率k的值

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  • 若过点(1,-3)的直线与双曲线x²-y²=4有且只有一个公共点,求此直线的斜率k的值

    双曲线x²/4+y²/y=1是一条等轴双曲线,其a=b=2,故其渐近线为y=±x;故过点(1,-3)的直

    线平行于这两条渐近线的时候,也就是其斜率k=±1时,与该双曲线必都只有一个交点.

    另外,过(1,-3)还可以作双曲线的两条切线,为此,设该直线的方程为y=k(x-1)-3=kx-(k+3);

    代入双曲线方程得x²-[kx-(k+3)]²-4=(1-k²)x²+2k(k+3)x-(k+3)²-4=0;

    因为只有一个交点,故其判别式:

    Δ=4k²(k+3)²+4(1-k²)[(k+3)²+4]=0

    化简得(k+3)²+4(1-k²)=k²+6k+9+4-4k²=-3k²+6k+13=0,即有3k²-6k-13=0

    于是得k=(6±√192)/6=(6±8√3)/6=1±(4/3)√3

    结论:k=±1或k=1±(4/3)√3)