Question

“过点（0，1）的直线l与双曲线x2−y23＝1有且仅有一个公共点”是“直线l的斜率k的值为±2”的（　　）

Answer 1

解题思路：根据直线和双曲线的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

设过（0，1）的直线斜率为k，则对应的直线方程为：y-1=kx，即y=kx+1，

代入双曲线方程x2−

y2

3＝1得x²-[1/3]（kx+1）²=1，

整理得（3-k²）x²-2kx-4=0，

当3-k²=0，即k=±

3时，方程有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行，

当3-k²≠0，要使直线l与双曲线x2−

y2

3＝1有且仅有一个公共点，

则△=4k²+16（3-k²）=0，

即k²=4，解得k=±2，

即过点（0，1）的直线l与双曲线x2−

y2

3＝1有且仅有一个公共点”时，k=±2或k=±

3，

∴“过点（0，1）的直线l与双曲线x2−y2＝

1

3有且仅有一个公共点”是“直线l的斜率k的值为±2”的必要不充分条件，

故选：C．

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式之间的关系是解决本题的关键．