Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=[1/2]（3n+Sn）对一切正整数n成立

Answer 1

解题思路：（1）由已知得Sn=2an-3n，Sn+1=2an+1-3（n+1），两式相减得：an+1=2an+3，由此能够证明数列{an+3}是等比数列．（2）、数列{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=[1/2]（3n+S_n）对一切正整数n成立

∴S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），

两式相减得：a_n+1=2a_n+3，

∴a_n+1+3=2（a_n+3），

∴

an+1+3

an+3=2，

∴数列{a_n+3}是等比数列．

（2）∵

an+1+3

an+3=2，a_n=[1/2]（3n+S_n），

∴a1＝

1

2(3+a1)，解得a₁=3，

∴a₁+3=6，

∴数列{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，

∴数列a_n+3=6•2^n-1，

故a_n=3（2ⁿ-1）．

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答．