已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实

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  • 解题思路:由于二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1的图象是开口方向朝上的抛物线,故二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间

    [-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定为对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,即f(-1),f(1)均小于等0,由此可以构造一个关于p的不等式组,解不等式组即可求出实数p的取值范围.

    二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是:

    对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,

    f(1)≤0

    f(−1)≤0

    4−2(p−2)−2p2−p+1≤0

    4+2(p−2)−2p2−p+1≤0

    整理得

    2p2+3p−9≥0

    2p2−p−1≥0

    解得p≥[3/2],或p≤-3,

    ∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,

    使f(c)>0的实数p的取值范围是(−3,

    3

    2).

    点评:

    本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系.

    考点点评: 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线,得到对于区间

    [-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0时,f(1)≤0f(−1)≤0是解答本题的关键.