解题思路：（1）借助于根与系数的关系进行求解即可；
（2）先求导数，然后判断导数值的正负情况进行判断；
（3）借助于单调性直接进行求证．
（1）根据根与系数的关系，得
α+β=-t，αβ=-1，
∴f(α)+f(β)=
2α+t
α2+1+
2β+t
β2+1=
2α-(α+β)
α2-αβ+
2β-(α+β)
β2-αβ=
α+β/αβ=
-t
-1=t，
∴f（α）+f（β）=t；
（2）∵f ′ (x)=
2(x2+1)-(2x+t)2x
(x2+1)2]=
-2(x2+tx-1)
(x2+1)2
∵x∈[α，β]，x2+tx-1=（x-α）（x-β）≤0，
∴x∈[α，β]，f′（x）≥0，
∴f（x）在[α，β]上是增函数；
（3）∵
x1α+x2β
x1+x2-α=
x2(β-α)
x1+x2＞0，
x1α+x2β
x1+x2-β=
x1(α-β)
x1+x2＜0，
∴α＜
x1α+x2β
x1+x2＜β，
同理，得α＜
x1β+x2α
x1+x2＜β，
∴f(α)＜f(
x1β+x2α
x1+x2)＜f(β)，
f(α)＜f(
x
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
考点点评： 本题综合考查函数的基本性质，注意转化思想在解题中的灵活运用．