解题思路:(1)利用赋值法,通过x=1,求解f(1)的值,通过x=-1,求解f(-1)的值;
(2)利用已知条件,令x1=x2=x,转化为f(x)=f(-x),即可判断f(x)的奇偶性;
(3)利用f(4)=1,求出2对应函数自变量,通过f(x)在(0,+∞)上是增函数,得到关于x的不等式,然后求其取值范围.
(1)∵f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)
∴f(1)=f(1•1)=f(1)+f(1)=0;故f(1)=0,
同理f(-1•1)=f(-1)+f(1)=0,得f(-1)=0.
(2)对任意x≠0,f(x2)=f(x•x)=f(-x•-x)
⇒f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x)
⇒2f(x)=2f(-x)
故f(x)=f(-x),函数f(x)为偶函数.
(注:此处证法不唯一)
(3)因f(4)=1;故2=1+1=f(4)+f(4)=f(16)
又f(3x+1)+f(2x-6)=f((3x+1)(2x-6))≤2=f(16);
因f(x)在(0,+∞)上为增函数,故|(3x+1)(2x-6)|≤16
解得
5
3≤x≤
11
3或−1≤x≤1.
x的取值范围:{x|
5
3≤x≤
11
3或−1≤x≤1}.(不写集合不扣分)
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合.
考点点评: 本题考查抽象函数的应用,赋值法的应用,函数的奇偶性的判断,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力.