解题思路:设两个数x1、x2∈(0,2),且x1<x2,将f(x1)与f(x2)作差变形整理,再讨论得f(x1)>f(x2),由此即可得到f(x)=x+[4/x]在区间(0,2)上为减函数.
证明:设x1、x2是区间,(0,2)上的任意两个数,且x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=(x1+[1
x1)-(x2+
1
x2)=(x1-x2)(1-
1
x1x2)=
(x1−x2)(x1x2−4)
x1x2
∵x1<x2,x1、x2∈(0,2)
∴x1-x2<0,0<x1x2<4,可得
(x1−x2)(x1x2−4)
x1x2>0
由此可得f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)=x+
4/x](x>0)在区间(0,2)上为减函数.
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题通过证明一个函数在给定区间上为减函数,考查了用定义证明函数单调性的知识,属于基础题.