Question

已知函数f（x）=ax3+x2-bx+4（a≠0）在x=1处取到极值．

Answer 1

解题思路：（I）先求出函数的导函数，然后根据函数在x=1处取到极值，则f'（1）=0建立等式关系，从而求出a，b满足的关系式；

（II）将f（x）的解析式代入，然后化简整理提取公因式，讨论a的正负，从而求出不等式的解集；

（III）利用导数研究函数在[0，1]上的最值，然后只需使|f（x）_max-f（x）_min|＜1成立即可．

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2x-b

∵函数f（x）=ax³+x²-bx+4（a≠0）在x=1处取到极值

∴f'（1）=3a+2-b=0即b=3a+2

（Ⅱ）f（x）+2x＞1-6ax即ax³+x²-（3a+2）x+4+2x＞1-6ax⇔ax³+x²+3ax+3＞0⇔（x²+3）（ax+1）＞0⇔ax+1＞0

故：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞−

1

a}

当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜−

1

a}

（Ⅲ）f（x）=ax³+x²-（3a+2）x+4∴f'（x）=3ax²+2x-（3a+2）

令f′(x)＝0⇒(x−1)(3ax+3a+2)＝0⇒x1＝1，x＝

3a+2

−3a

由−

1

3＜a＜0⇒x2＞1，故可知x₁，x₂∈[0，1]时f（x）_max=f（0）=4，f（x）_min=f（1）=3-2a

∴x₁，x₂∈D时，|f（x₁）-f（x₂）|≤1+2a＜1故函数f（x）满足条件．

点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；其他不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查了函数在某点处取极值的条件，以及不等式的解法和函数恒成立等问题，是一道综合题，属于中档题．