解题思路：（1）首先计算f′（x） 的表达式，然后求解微分方程可以得到f（x）的表达式f（x）=axex；（2）因为f（x）=ae（x-1）ex-1+aeex-1，利用ex的展开式即得f（x）的表达式；再由幂级数展开式的唯一性可得：
f
(2009)
(1)
2009!
=（x-1）2009的系数，从而求出f（2009）的值．
因为f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，
令x=y=0可得，f（0）=0．
又因为f（x+△x）=f（x）e△x +f（△x）ex，
所以
lim
△x→0
f(x+△x)−f(x)
△x
=
lim
△x→0(f(x)
e△x−1
△x+ex
f(△x)
△x)
=f（x）
lim
△x→0
e△x−1
△x+ex
lim
△x→0
f(△x)−f(0)
△x
=f（x）+f′（0）ex
=f（x）+aex，
从而f′（x）存在，且f′（x）=f（x）+aex．
由于f′（x）-f（x）=aex，
故利用一阶线性微分方程的求解公式可得，
f（x）=e∫1dx（∫aexe∫-1dx+C）=ex（ax+C）．
又因为f（0）=0，所以C=0，
故 f（x）=axex．
（2）因为f（x）=axex =aexex-1=ae（x-1）ex-1+aeex-1，
又因为ex＝
∞
n＝0
xn
n!，x∈R，
所以 f（x）=ae（x-1）ex-1+aeex-1
=ae(x−1)
∞
n＝0
(x−1)n
n!+ae
∞
n＝0
(x−1)n
n!
=ae
∞
n＝1
(x−1)n
(n−1)!+ae
∞
n＝0
(x−1)n
n!，x∈R．
由幂级数展开式的唯一性可得，
f(2009)(1)
2009!＝
ae
2008!+
ae
2009!，
从而，f（2009）（1）=2009ae+ae=2010ae．
点评：
本题考点： 利用泰勒公式将函数展开成幂级数；一阶线性微分方程的求解．
考点点评： 本题考查了导数的定义、一阶线性微分方程的求解、利用间接法计算函数的幂级数展开式以及函数幂级数展开式的唯一性；题目具有较强的综合性，难度系数适中，计算量偏大，需要仔细计算．