解题思路:(1)根据题意设B(a,7-a),得到线段AB的中点为D
(
4+a
2
,
10−a
2
)
.由点D在直线5x-7y-5=0上,建立关于a的等式解出a=5,可得B(5,2).然后求出AC的斜率,得到AC的方程为y=x-1,再联解直线AC、CD方程,可得点C的坐标;
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A、B、C的坐标代入,得到关于D、E、F的方程组,解之即可得到△ABC的外接圆的方程.
(1)由题意,可得:
∵边AC上高BE所在直线的方程是x+y-7=0,点B在直线BE上,
∴设B(a,7-a),可得线段AB的中点为D(
4+a
2,
10-a
2).
∵点D在中线CD:5x-7y-5=0上,
∴5•
4+a
2-7•
10-a
2-5=0,解之得a=5,可得B(5,2),
又∵直线AC的斜率k=
-1
kBE=1,
∴直线AC的方程为y-3=1•(x-4),即y=x-1,
联解
5x-7y-5=0
y=x-1得
x=1
y=0,可得C的坐标为(1,0).
综上所述,B、C的坐标分别为B(5,2)、C(1,0).
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
4D+3E+F+25=0
5D+2E+F+29=0
D+F+1=0,解之得
D=-6
E=-2
F=5.
∴△ABC外接圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.
点评:
本题考点: 圆的标准方程;圆的一般方程.
考点点评: 本题给出△ABC的顶点A的坐标,在已知中线CD和高BE方程的情况下求B、C两点的坐标,并求△ABC外接圆的方程.着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和圆的一般方程等知识,属于中档题.