Question

已知F1、F2分别是双曲线x23−y26＝1的左右焦点，过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长；

（Ⅱ）利用双曲线的定义，即可求△AF₁B的周长．

（Ⅰ）由双曲线的方程得F₁（-3，0），F₂（3，0），直线AB的方程为y=

3

3(x-3)①（2分）

将其代入双曲线方程消去y得，5x²+6x-27=0，解之得x1=-3，x2=

9

5．（4分）

将x₁，x₂代入①，得y1=-2

3，y2=-

2

3

5，故A(-3，-2

3)，B(

9

5，-

2

3

5)，

故|AB|=

16

5

3．（8分）

（Ⅱ）周长=|AB|+|AF₁|+|BF₁|=8

3．（12分）

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．