已知函数f(x)=e x (ax+b),曲线y=f(x)经过点P(0,2),且在点P处的切线为l:y=4x+2.

1个回答

  • (1)f′(x)=e x(ax+a+b)…(1分),

    依题意,

    f(0)=2

    f / (0)=4 ,

    e 0 (a×0+b)=2

    e 0 (a×0+a+b)=4 …(3分),

    解得a=b=2…(5分).

    (2)记g(x)=e x(ax+b)-(4x+2)=2e x(x+1)-2(2x+1),

    则g′(x)=2e x(x+2)-4…(6分),

    当x=0时,g′(x)=0;

    当x>0时,g′(x)>0;

    当x<0时,g′(x)<0…(8分),

    ∴g(x)≥g(0)=0,等号当且仅当x=0时成立,

    即f(x)≥4x+2,等号当且仅当x=0时成立,曲线y=f(x)和直线l只有一个公共点…(9分).

    (3)x∈[-2,-1]时,4x+2<0,

    ∴f(x)≥k(4x+2)恒成立当且仅当 k≥

    f(x)

    4x+2 =

    e x (x+1)

    2x+1 …(10分),

    记 h(x)=

    e x (x+1)

    2x+1 ,x∈[-2,-1],

    h / (x)=

    e x (2 x 2 +3x)

    (2x+1) 2 …(11分),

    由h′(x)=0得x=0(舍去), x=-

    3

    2 …(12分)

    当 -2≤x<-

    3

    2 时,h′(x)>0;

    当 -

    3

    2 <x≤-1 时,h′(x)<0…(13分),

    ∴ h(x)=

    e x (x+1)

    2x+1 在区间[-2,-1]上的最大值为 h(-

    3

    2 )=

    1

    4 e -

    3

    2 ,常数k的取值范围为 (

    1

    4 e -

    3

    2 ,+∞) …(14分).