Question

设函数f（x）=x+ax2+blnx（a，b∈R），曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．

Answer 1

解题思路：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程组，即可a，b的值；

（2）写出g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程．

（1）∵函数f（x）=x+ax²+blnx过点P（1，0），

∴f（1）=1+a=0，即a=-1．

函数f（x）=x-x²+blnx的导数为f′（x）=x-2x+[b/x]，

∵曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，

∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，

即a=-1，b=3；

（2）g（x）=f（x）-3x+2=x-x²+3lnx-3x+2=-2x-x²+3lnx+2，

则g′（x）=-2-2x+[3/x]，则函数g（x）在x=1处的切线斜率为-2-2+3=-1，

切点为（1，g（1））即为（1，-1），

则切线方程为：y+1=-（x-1），

即为x+y=0．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．