Question

判别这个级数的敛散性（用比较判别法） ∑[√(n+1)-√(n)]/(n^p)

Answer 1

利用恒等式：

1 = (n+1) - n = (√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n),

级数的通项可以写成

1/(√(n+1) + √n)n^p,而当n->无穷时,这与

1/n^{p+1/2}是同阶的,这又是正项级数,所以收敛性与∑1/n^{p+1/2}相同（比较判别法）

又∵∑1/n^{p+1/2}收敛当且仅当p+1/2 > 1,即p>1/2

∴p>1/2时级数收敛,否则发散